しかし、そのほとんどは角度を含む定理 であるため、角度の情報がさほど意味を持たないような題材だと無意味に煩雑な計算を強い られることが多いです。 トレミーは三角法の加法定理を導くための補題として、この定理を利用しました。
このように、一つのプトレマイオスの定理から、幾何学的に重要なピタゴラスの定理、三角 関数の加法定理が導けるということは、非常に驚くべきことである！ （参考文献：エリ・マオール 著 好田順治 訳 素晴らしい三角法の世界（青土社）） （追記） プトレマイオスの定理の上記の証明は、とても強引すぎて、鮮やかだけれども美し さは感じられない。
ここではまず、『アルマゲスト』にあるやり方で、その公式を証明しましょう。
円に内接する四角形の場合不等式が等号で成立し，トレミーの不等式はと一致します。
位置関係を間違えないよう、図とともに覚えておきましょう！. トレミーの不等式の証明 有名な方法です。 しかし、次のように相似を利用して中学生でも証明することができるのです。 このままではトレミーの定理は使えません。
4Ｓ（Ｈ）さんの手法では厳しいかも？ 空舟さんからのコメントです。
つまり、同一人物。
四角形ABCDの対角線交点をEとする。
この事実を私が初めて知ったのは、高校受験 を控えて受験問題集を解いていた頃であるが、証明までは、その当時思い浮かばなかった。
中学生ができる証明方針 高校生が三角比を使って証明するのは普通です。 とはいえ誰かがとっくに見 つけている証明だろうと思いますが．．．。
（コメント） トレミーの定理を使えば、瞬殺ですね！ 弧ＡＢ上に、ＡＤ：ＤＢ＝１：２ となる点Ｄをとり、Ｄを端点とする直径を考えるとき、Ｃがその もう一方の端点になるときが最大である。 脚注 [編集 ] []. （詳しくは）. 新しい定理を覚えるととりあえず使ってしまいたくなる気持ちはわかるのですが、高校数学は知識のひけらかし大会ではありません。
私自身、中学生時代に教科書だけで数学を学んだとは自信を持っていえないが、少なくと も、使っていた教科書には、ハッとさせられるような話が散りばめられていて、知的好奇心を くすぐられたという記憶だけはある。
例えば、以下のような問題はどうでしょう。
トレミーの定理を使わなくてもどうにかなるっちゃ なると思いますが、かなり迂遠な計算になると思います。
なかなか気がつくものではありませんね。 （平成２６年１２月１日付け） トレミーの定理には、いろいろな証明がありますが、複素平面による証明が好きです。
プトレマイオスは角の和や差の弦の長さを計算しました。
（証終） ＫＳさんから等式の背景をご教示頂きました。
著書「アルマゲスト」の中で天動説を提唱し、中世ヨーロッパの宇宙観を支配し ました。
ご協力お願いします。
ありがとうございます。 複素数の絶対値と偏角については、次の性質が成り立つ。
座標を用いる方法、 ベクトルを用いる方法、 複素数を用いる方法、・・・、ｅ. （コメント） なるほど！角の取り方は異なりますが、余弦定理からも証明できるんですね。
（ネットで軽く検索した感じではこの証明は見当たりませんでした。
このとき、 よって、原点 Ｏ と、２点 Ｚ、－Ｗ の位置関係は、例えば、下記のようになっている。
正 弦定理を始め、種々の証明を 村守 隆男 著 「」 を参考にさせて頂きました。 三角不等式の四角形バージョンのようなもので，三角不等式の次に重要な幾何不等式です。 あくまで検算と答えの値だけ高速で求める裏技として活用してくださいね。
18セットごとに掛け合わせて、あとは上の式のように足していけばOK。 詳しく証明をしておきます。
プトレマイオスの定理 ・・・ トレミーの定理ともいわれる。
基礎・基本を重視し ているのは感じとれるが、さらに突っ込んだ話の展開が削除されているので、ちょっと実力を 身に付けるのは厳しいな、というのが率直な感想である。
（平成２７年６月２日付け） 以下、トレミーの定理を使わない場合の解答例です。
センター試験など、考え方を記さなくても良い場面であれば、回答に要する時間を圧倒的に短縮することが可能です。 3 円周上に異なる定点A、Bおよび動点Cがあるとします。
答えだけ知りたいのであれば、トレミーの定理を用いたほうがより簡潔に解答できます。
しかし、いずれか一方を求めてしまえば、もう一方はトレミーの定理を用いることで簡単に導き出せます。
）である。
対角線の数＝７C２＝21本である。 発想と思いつきがそれなりのウエイトを占める図形問題において、トレミーの定理を使うことで予期しない突破口が開けることは多々ありますよ。 ドイツの数学者 Ｇａｕｓｓ（1777～1855）らが、複素数 の幾何学的解釈を初めて行ったので、Ｇａｕｓｓ平面とも いわれる。
10トレミーの定理を使った例題. 正 5 角形の対角線の長さは, 内部の三角形の相似からも求められますが, トレミーの定理を使った方が簡単です. このとき、虚数単位 ｉ を用いて、複素数 Ｚ＝Ｘ＋ｉＹ によって、平面上の点の位置を表そうとしたものが、複 素数平面（昔は、複素平面と呼ばれた。 上図において、２点間の距離ＯＰは、複素数の絶対値 ｜Ｚ｜で表される。
その四角形が円に内接していれば、トレミーの定理を使うことができる。
それは主に「円の性質」などの平面幾何の問題である。
これらを上の図のように、対辺の2セット 赤と青 と対角線の1セット 緑 の計3セットにわける。
プトレマイオスの定理 プトレマイオスの定理 新学習指導要領で、旧課程の中学３年生で学習していた「円の性質」は、数学Ａ（ほとんど の高校では、多分１年生で履修）に移行した。 （平成２７年６月１日付け） 初等幾何で重要なトレミーの定理。
13脚注 [ ] []. 直交座標系において、平面上の点Ｐの位置は、２つの 実数 Ｘ 、Ｙ の組（Ｘ，Ｙ）によって定まる。
種々の証明を見ても対辺の積を足し合わせることの幾 何学的意味がどうにも納得できず長年もやもやしていたのですが、先ほどそれを納得できる 証明をふと思いつきました。
高校数学（特に高校の定期試験など）において、トレミーの定理を使わないと解けない図形問題はまずありません。
あとは下の図をみれば一目瞭然でしょう。